Archimedes należy do tych nielicznych geniuszy, których twórczość przesądziła na długie wieki o losach nauki, a tym samym o losach ludzkości. W tym podobny jest on do Newtona. Pomiędzy twórczością obu wielkich geniuszów przeprowadzić można, daleko idące, porównanie. Te same dziedziny zainteresowań - matematyka, fizyka, astronomia, ta sama nieprawdopodobna siła rozumu - zdolna do przenikania w głąb zjawisk, wreszcie ta sama popularność wśród najszerszych sfer. Z nimi związane są również liczne legendy i anegdoty.
Archimedes urodził się w bogatym, handlowym mieście Syrakuzy, na Sycylii. Ojcem jego był astronom Fidiasz, który zapewne od dzieciństwa wpajał synowi zamiłowanie do matematyki, mechaniki i astronomii. Prawdopodobnie Archimedes jeździł do Aleksandrii i pracował w tamtejszej sławnej bibliotece. Poznał tam aleksandryjskich uczonych, z którymi korespondował do końca swojego życia. Pisał, między innymi, do astronoma Konona, a po jego śmierci do Dositeosa i Eratostenesa. Listy te przypominają nowoczesne rozprawy naukowe. Każdy list zwykle poświęcony jest jednemu tematowi i podaje tylko nowe rezultaty, przedstawione z nienaganną ścisłością.
Niekiedy Archimedes podawał swoje twierdzenia bez dowodu, pozostawiając matematykom satysfakcję z ich uzasadnienia. Chcąc sprawdzić rzeczywistą wiedzę aleksandryjczyków, Archimedes dodawał czasem kilka fałszywych twierdzeń po to ,,by tych, którzy twierdzą, że wszystko odkryli i nie podają żadnych dowodów tego, co odkryli, można było na tym przyłapać i zmusić do przyznania, że odkryli rzecz niemożliwą''.
Pisma Archimedesa pokazują, z jakim natężeniem pracował po powrocie do Syrakuz, i to nie tylko jako teoretyk. Z opowiadań wiadomo o jego niezwykłych wynalazkach i konstrukcjach. Kiedy jeszcze przebywał w Egipcie, wynalazł tzw. śrubę bez końca (ślimak Archimedesa) do czerpania wody, która do tej pory jest używana w całej północnej Afryce.
Znane jest również podanie, opowiadające jak Archimedes zbudował maszynę, za pomocą której jednym ruchem ręki podnosił z miejsca ciężko naładowany statek i bez trudu przenosił go na ląd. Trudno uwierzyć, by właśnie tak było. W każdym razie z teorią dźwigni wiąże się przypisywane Archimedesowi dumne powiedzenie: ,,Dajcie mi punkt oparcia - a dźwignę świat''. Wiadomo, że Archimedes skonstruował także ,,planetarium'' (czyli sferę niebieską), w którym można było obserwować fazy księżyca, ruch planet czy zaćmienie słońca, księżyca. Do poruszania tego ,,planetarium'' służyła zapewne woda. Później planetarium przewieziono do Rzymu, gdzie zobaczył je i opisał Cyceron.
Geniusz Archimedesa, jako inżyniera i wynalazcy, ujawnił się szczególnie w czasie oblężenia Syrakuz przez Rzymian. Archimedes oddał wszystkie swoje siły dla obrony rodzinnego miasta. Wymyślone przez niego potężne maszyny balistyczne zasypywały Rzymian pociskami kamiennymi i strzałami. Sądząc, że będą bezpieczni pod samymi murami miasta, Rzymianie schronili się tam, lecz wtedy do akcji weszły lekkie maszyny bliskiego, balistycznego działania i zarzuciły ich gradem pocisków. Potężne dźwigi, żelaznymi szponami chwytały okręty za dzioby, podnosiły je w górę i rzucały w dół tak, że okręty przewracały się i tonęły. Według opowiadania Plutarcha, rzymscy żołnierze byli tak wystraszeni, że ,,kiedy tylko zauważyli na murze gałązkę czy kawałek drzewa, podnosili rozpaczliwy krzyk i rzucali się do ucieczki, całkowicie przekonani, że Archimedes wycelował w nich jakąś maszynę''. Rzymianie musieli porzucić myśl zdobycia miasta szturmem i rozpoczęli jego oblężenie. Znany historyk starożytności Polibiusz pisał: ,,Taka była cudowna siła jednego człowieka, jednego talentu, umiejętnie skierowanego na każdą sprawę... Rzymianie byliby mogli szybko opanować miasto, gdyby w jakiś sposób udało im się usunąć spośród Syrakuzan jednego starca''. Dopiero wskutek zdrady Syrakuzy zostały zdobyte przez Rzymian jesienią 212 r. p.n.e. Wtedy właśnie zginął Archimedes. U Plutarcha znajdujemy barwne opowiadanie o jego śmierci: ,,Wtedy Archimedes miał uwagę zajętą jakimś rysunkiem i, pogrążony duszą i wzrokiem w rozmyślaniach, nie zauważył ani wtargnięcia Rzymian, ani zdobycia miasta, gdy nagle stanął przed nim jakiś żołnierz i oznajmił mu, że wzywa go Marcellus. Archimedes odmówił pójścia za nim, dopóki nie doprowadzi zadania do końca i nie znajdzie dlań dowodu. Żołnierz wpadł w gniew i, wydobywszy miecz, zabił go''.
Stosownie do życzenia Archimedesa, rzeźba na jego grobie wyobrażała kulę wpisaną w walec oraz napis, że stosunek objętości brył wynosi 3:2. Cyceron, półtora wieku później, kierując się tą wskazówką odnalazł jego grób. Jednak wiadomość, gdzie się on znajduje, nie dotrwała do dnia dzisiejszego.
Różnorodność naukowych zainteresowań Archimedesa, charakterystyczna dla wszystkich wielkich geometrów Grecji, ze szczególną siłą ujawniła się w jego twórczości. Do badań nad problemami mechaniki teoretycznej i hydrostatyki stosował najbardziej precyzyjne metody swego czasu. Twierdzenia mechaniki, a zwłaszcza zasada dźwigni, posłużyły mu do odkrycia nowych prawd matematycznych. Wreszcie, Archimedes potrafił, w ścisły sposób, badać teoretycznie przykłady rachunków przybliżonych, stosując do nich aparat nierówności.
Z prac mechanicznych Archimedesa zachowała się całkowicie tylko jedna - O równowadze figur płaskich, czyli o środkach ciężkości figur płaskich. W dziele tym, które położyło podwaliny pod statykę jako naukę, Archimedes, wychodząc z wyraźnie sformułowanych założeń fizycznych i posługując się ogólną teorią stosunków Eudoksosa-Euklidesa, dowiódł sławnego prawa dźwigni: wielkości (których ciężary mogą być zarówno współmierne, jak niewspółmierne) są w równowadze, jeśli ich odległości od punktu podparcia są odwrotnie proporcjonalne do ich ciężarów. Prawo to zastosował później do obliczania nowych pól i objętości.
W dziele O ciałach pływających Archimedes sformułował podstawowe prawo hydrostatyki, noszące jego imię. Znalazł położenie stabilnej równowagi prostego odcinka paraboloidy obrotowej. Wyszedł przy tym z oczywistego warunku koniecznego równowagi, polegającego na tym, że środek ciężkości wypartej objętości cieczy i środek ciężkości ciała leżą w jednym pionie (inaczej bowiem siły ciężkości i parcie cieczy tworzyłyby parę sił, która wyprowadziłaby ciało z położenia początkowego). W celu wyznaczenia położeń równowagi stabilnej, tzn. takich, do których ciało wraca przy niewielkich odchyleniach, Archimedes przeprowadził dodatkowe badania. Mianowicie wziął pod uwagę twór analogiczny do tzw. powierzchni środków, wprowadzonej przez Ch. Dupina na początku XIX w. Aż do prac Ch. Dupina i A.J. Dawidowa, badania Archimedesa nie zostały rozwinięte w sposób znaczący, chociaż określaniem położeń równowagi stabilnej zajmowali się tacy uczeni, jak Stevin, Euler i Lagrange.
Archimedes zajmował się także optyką geometryczną. O jego Katoptryce wiemy ze słów rzymskiego architekta Witruwiusza, który podał, że była tam mowa o odbiciu przedmiotów w zwierciadłach płaskich, wypukłych i wklęsłych, o zwierciadłach palących i o przyczynie tęczy. Archimedes wiedział, że kąt padania promienia świetlnego jest równy kątowi odbicia.
Mimo głębokiego zainteresowania, jakie żywił Archimedes dla mechaniki i optyki, pasją jego życia była jednak matematyka. Według słów Plutarcha, Archimedes był nią wprost opętany. Często zapominał o jedzeniu i zupełnie nie dbał o siebie.
Niektóre dzieła Archimedesa zachowały się tylko w przekładzie arabskim bagdadzkiego uczonego z IX w., Thabita ibn Qurry. Należą do nich Lematy, O siedmiokącie i O kołach stycznych. W Lematach wśród innych zadań, mowa jest o trysekcji kąta za pomocą wstawki. W traktacie O siedmiokącie analogiczną metodą rozwiązane jest inne zadanie, dające się sprowadzić do równania sześciennego. W spisie dzieł Archimedesa, znanych Arabom, historyk Ibn al-Kifti (XII w.) wymienił także dzieło O równoległych. Archimedes był może jednym z pierwszych uczonych, którzy próbowali udowodnić V postulat Euklidesa.
Badania Archimedesa dotyczyły takich fundamentalnych problemów jak wyznaczanie pól, objętości, powierzchni, środków ciężkości, stycznych i ekstremów. Dla rozwiązania tych zagadnień stworzył on podstawowe metody, które stosujemy do tej pory: metodę sum całkowych górnych i dolnych, nieskończenie mały trójkąt, charakterystyczny dla wyznaczania stycznych, wreszcie metodę sprowadzania zadań na ekstremum do wyznaczania stycznych. Dalszy zasadniczy postęp w tym kierunku oznaczałby już powstanie rachunku różniczkowego i całkowego, do tego jednak brakowało spełnienia wielu warunków, a w samej matematyce bazy analitycznej: rachunku literowego, opanowania szerszej klasy funkcji czy stworzenia aparatu analitycznego dla ich przedstawiania. Badania Archimedesa nie znalazły kontynuatorów w starożytności. Dwa razy ludzkość odkrywała na nowo Archimedesa i dwa razy uczeni próbowali pójść jego śladami. Po raz pierwszy - na arabskim Wschodzie, po raz drugi - w Europie XVI-XVII w. Choć Thabit ibn Qurra i uczeni jego szkoły, a także Ibn al-Haitham opanowali metodę górnych i dolnych sum całkowych, a nawet obliczyli (mówiąc językiem współczesnym) kilka nowych całek, to jednak nie zaszli na tej drodze daleko, z takich samych przyczyn ogólnych i szczególnych jakie działały w starożytności.
Dopiero po powstaniu algebry literowej (symbolicznej) Viete'a-Kartezjusza i geometrii analitycznej Kartezjusza-Fermata, i jednocześnie z postępami nauk fizycznych czasów nowożytnych możliwe stało się powstanie rachunku nieskończenie małych. Pracowały nad tym umysły wielu wybitnych uczonych XVI-XVII w., poczynając od Keplera i Galileusza, a kończąc na Newtonie i Leibnizu. A wszyscy oni opierali się, w większym lub mniejszym stopniu, na pracach Archimedesa, zmierzając do uogólnienia i wzmocnienia metod wielkiego uczonego. Znaczenie prac Archimedesa dla nowego rachunku najlepiej wyraził Leibniz: ,,Uważnie czytając dzieła Archimedesa przestajemy się dziwić wszystkim nowym odkryciom geometrów''.

Król Syrakuz - Hieron II zamówił dla siebie koronę z czystego złota. Jednak władca obawiał się, że złotnik go oszuka i wykona srebrną koronę pokrytą cienką warstwą złota. Zwrócił się więc do Archimedesa, aby sprawdził jego przypuszczenie, ale nie niszczył pięknej korony. Uczony długo zastanawiał się, jak to zrobić, aż wpadł na rozwiązanie w czasie kąpieli. Siedząc w wannie Archimedes odkrył, że ciało zanurzone w cieczy traci pozornie na ciężarze tyle, ile wynosi ciężar cieczy wypartej przez to ciało. Wtedy krzycząc: eureka! wyskoczył z wanny i nagi pobiegł przez miasto do króla, aby mu podać sposób rozwiązania problemu. Otóż, aby sprawdzić, z jakiego kruszcu została wykonana korona, należy zanurzyć ją w wodzie i zmierzyć ilość wypartej przez nią wody. Następnie sprawdzić, ile wody wyprze sztaba złota o tej samej wadze co korona. Po wykonaniu doświadczenia okazało się, że sztaba wyparła mniej wody, więc rzeczywiście złotnik był oszustem.